Metoda starożytnych.

Zrób zadanie “metodą starożytnych”. Też słyszeliście to stwierdzenie na lekcji matematyki? Prawie wszyscy jej używacie rozwiązując zadania. W naszych czasach nie jest niczym niesamowitym, stosujemy ją raczej domyślnie, mimo iż kiedyś stanowiła przełom jeśli chodzi o znajdywanie rozwiązania. Za autora metody analizy starożytnych uważa się Platona. Inna nazwa tej metody to wnioskowanie z przypuszczenia.

Zdjęcie tylko dla klimatu starożytności, tablica jest starsza od Platona o jakieś 1600lat, choć co ciekawe wtedy też potrafiono rozwiązać równanie podane niżej. Chociaż sposób był jeszcze bardziej "starożytny"

Zdjęcie tylko dla klimatu starożytności, tablica jest starsza od Platona o jakieś 1600lat, choć co ciekawe wtedy też potrafiono rozwiązać równanie podane niżej. Chociaż sposób był jeszcze bardziej “starożytny”

Rozwiązanie równania tą metodą polega na przypuszczeniu, iż istnieje jakaś liczba – powiedzmy ♥, która spełnia postawione równanie z niewiadomą x. Wstawiając do równania w miejsce niewiadomej x, naszą liczbę ♥ dostajemy równanie prawdziwe. Skoro równanie jest prawdziwe to możemy na nim wykonywać wszelkie znane nam działania i przekształcenia, tak aby odnaleźć wynik. Jeśli uda nam się odnaleźć wynik ♥, wystarczy sprawdzić czy spełnia on wyjściowe równanie. Jeśli tak to jest on dobry, jeśli nie to odrzucamy go jako sprzeczny.

Przykład

Weźmy jako przykład równanie \frac{2x+1}{x}-\frac{1}{x}}=x. Metoda analizy starożytnych nie pozwala nam działać na tym równaniu z niewiadomą x, ponieważ nie wiemy czy to równanie jest prawdziwe. Dlatego w miejsce x wstawiamy liczbę \bullet, zakładając że jest ona rozwiązaniem tego równania. Dostajemy wtedy równanie postaci jak niżej. Na tym równaniu możemy już wykonywać działania.

\frac{2\bullet +1}{\bullet}-\frac{1}{\bullet}}=\bullet

\frac{2\bullet +1}{\bullet}-\frac{1}{\bullet}}=\bullet /\bullet

2\bullet+1-1=\bullet^2

\bullet^2-2\bullet=0

\bullet=0\vee\bullet=2

Co po wstawieniu do wyjściowego równania daje nam tylko jedno rozwiązanie \bullet=2 (sprawdź sam, że drugie rozwiązanie nie spełnia pierwotnego równania).

Niesamowity wydaje się być przeskok myślowy, pomiędzy Platonem a obecnymi czasami. Metoda starożytnych zakładała, że nie możemy wykonywać działań na danym równaniu, dopóki nie wiemy, że jest ono prawdziwe. Musieliśmy więc założyć, że jest liczba, która spełni dane równanie, podmienić niewiadomą na tą liczbę (która przecież też jest nam niewiadoma). I dopiero na takim równaniu wykonywać obliczenia. Jest to bardzo podobne podejście, do tego które większość nauczycieli (w jakiś sposób bezsensownie, wręcz błędnie) powiela w szkole w zadaniach typu “wykaż że”. No chyba każdy usłyszał zdanie “ale Ty nie możesz działać na tezie, bo nie wiesz czy jest prawdziwa”.

W każdym razie nasze podejście w XXIw. diametralnie się zmieniło. Działamy na równaniach/nierównościach z niewiadomą x i nie jest nam potrzebne podstawienie innego symbolu. Z góry zakładamy, że jakaś liczba x to równanie spełnia, a my jej tylko szukamy. Dzięki temu nie musimy zastępować innym symbolem, udając że od tego momentu jest już nam ona wiadoma.

Skoro już wspomniałem o działaniu na tezie w zadaniach typu “Udowodnij, wykaż, że…” w ciągu kilku kolejnych dni umieszczę wpis o tym jak to w końcu jest. Można czy nie można na tezie działać? Tymczasem możesz dowiedzieć się dlaczego niewiadomą oznaczamy jako x, a nie jako ♥. Moim zdaniem z ♥ matematyka była by bardziej kochana!